Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}，1$），$\overrightarrow{n}$=（$cos\frac{x}{4}，co{s}^{2}\frac{x}{4}$）．
（1）若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1，求cos（$\frac{2π}{3}$-x）的值；
（2）记f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据数量积等式并化简，得到sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，观察所求与已知角的关系，利用诱导公式解答；
（2）利用已知的三角等式化简，求得B，结合（1）的解析式以及角度范围求f（A）的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+co{s}^{2}\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$
=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
所以sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∴cos（x+$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∴cos（$\frac{2π}{3}-x$）=-cos（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$．
（2）（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜\frac{A}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴sin（$\frac{A}{2}+\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1）．
又∵f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（A）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈（1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用以及三角函数恒等式的变形；熟练运用倍角公式化简是关键；本题注意A 的范围．