Question

11．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且$cosBcosC-sinBsinC=-\frac{1}{2}$．
（1）求A的值．            
（2）若a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$cos（B+C）=-\frac{1}{2}$，结合范围0＜B+C＜π，可求$B+C=\frac{2π}{3}$，结合三角形内角和定理可求A的值．
（2）利用三角形面积公式可求bc=4，由余弦定理得c²+b²=8，联立即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为$cosBcosC-sinBsinC=-\frac{1}{2}$，
所以$cos（B+C）=-\frac{1}{2}$，…（2分）
又因为0＜B+C＜π，
所以$B+C=\frac{2π}{3}$，…（4分）
因为A+B+C=π，
所以$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）因为△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$，
所以bc=4，…（8分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得c²+b²=8，…（10分）
联立$\left\{\begin{array}{l}bc=4\\{b^2}+{c^2}=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-2\end{array}\right.$，
因为b＞0，c＞0，
所以b=c=2．…（12分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．