Question

4．设函数f（x）=$\frac{a}{{2}^{x}}$+$\frac{{2}^{x}}{a}$的图象关于y轴对称，且a＞0．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在[0，2]的值域．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得f（x）是R上的偶函数，f（-1）=f（1），由此求得a的值．
（2）先证明函数f（x）在[0，2]上单调递增，结合f（0）=2，f（2）=$\frac{17}{4}$，可得 f（x）在[0，2]的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{a}{{2}^{x}}$+$\frac{{2}^{x}}{a}$的图象关于y轴对称，且a＞0，
∴f（x）是R上的偶函数，
故有f（-1）=f（1），即 $\frac{a}{\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{2}}{a}$=$\frac{a}{2}$+$\frac{2}{a}$，求得a=1，检验满足条件．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2^x=2^x+2^-x．
设任意的0≤x₁＜x₂≤2，则   
f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{{-x}_{1}}$-（${2}^{{x}_{2}}$+${2}^{{-x}_{2}}$）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$ ）+（${2}^{{-x}_{1}}$-${2}^{{-x}_{2}}$）
=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$ ）+$\frac{{2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}{•2}^{{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$ ）•（1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{•2}^{{x}_{2}}}$），
由题设可得，${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，0＜$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{•2}^{{x}_{2}}}$＜1，1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{•2}^{{x}_{2}}}$＞0，
∴（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$ ）•（1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{•2}^{{x}_{2}}}$）＜0，即 f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数f（x）在[0，2]上单调递增，
∵f（0）=2，f（2）=$\frac{17}{4}$，∴f（x）在[0，2]的值域为[2，$\frac{17}{4}$]．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，利用单调性求函数的值域，属于中档题．