Question

9．已知f（x）=|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x+1）+f（x+3）＞2的解集M；
（Ⅱ）若a∈M，|b|＜2，求证：$f（ab）＜|a|•f（\frac{b}{a}）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x+1）+f（x+3）=|x-1|+|x+1|，而|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，当且仅当|（x-1）（x+1）≤0，即-1≤x≤1时取等号．即可得出结论；
（Ⅱ）利用作差法进行证明即可．

解答 （Ⅰ）解：f（x+1）+f（x+3）=|x-1|+|x+1|，而|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，
当且仅当|（x-1）（x+1）≤0，即-1≤x≤1时取等号．
因此M={x|x＜-1或x＞1}．    …（5分）
（Ⅱ）证明：$f（ab）＜|a|•f（\frac{b}{a}）?|ab-2|＜|b-2a|$，
因为a∈M，|b|＜2，所以（ab-2）²-（b-2a）²=a²b²-4a²-b²+4=（a²-1）（b²-4）＜0．
因此|b-a|＜|b-2a|，故$f（ab）＜|a|•f（\frac{b}{a}）$．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．