Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2a_n-3n，求数列{b_n}的n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式即可求出数列{a_n}的通项公式，
（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式计算即可．

解答 解：（1）2S_n=3a_n-3，
∴当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，
两式相减得2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，
∴{a_n}是以3为公比的等比数列，
当n=1时，2S₁=3a₁-3，
∴a₁=3，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=3×3^n-1=3ⁿ，
（2）b_n=2a_n-3n=2×3ⁿ-3n，
∴T_n=2（3+3²+3³+…+3ⁿ）-3（1+2+3+…+n）=2×$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-3×$\frac{n（n+1）}{2}$=3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-3．

点评 本题考查了数列的递推公式和等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题．