Question

14．在△ABC中，B=$\frac{π}{4}$，BC边上的高等于$\frac{1}{3}$BC，则cosA=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ═$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\frac{a}{3}}{\sqrt{（\frac{1}{3}a）^{2}+（\frac{2}{3}a）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，利用两角和的余弦即可求得答案．

解答 解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，

∵在△ABC中，B=$\frac{π}{4}$，BC边上的高AD=h=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$a，
∴BD=AD=$\frac{1}{3}$a，CD=$\frac{2}{3}$a，
在Rt△ADC中，cosθ=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\frac{a}{3}}{\sqrt{（\frac{1}{3}a）^{2}+（\frac{2}{3}a）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，故sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosA=cos（$\frac{π}{4}$+θ）=cos$\frac{π}{4}$cosθ-sin$\frac{π}{4}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．