Question

已知x、y满足约束条件

x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3

，
（Ⅰ）求n=2x+y的最大值与最小值；
（Ⅱ）求w=

y

x+4

的最大值与最小值；
（Ⅲ）求z=（x+2）²+（y+2）²的最小值．

Answer 1

分析：（I）作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，观察y轴上的截距变化，即可得到n=2x+y的最大值与最小值；
（II）w=

y

x+4

表示Q（-4，0）、P（x，y）连线的斜率，观察图形并利用斜率与倾斜角的关系求出PQ斜率的最值，即可得到w的最大值与最小值；
（III）设M（-2，-2），P（x，y）为区域内的动点，可得|MP|²=（x+2）²+（y+2）²，表示M、P两点距离的平方之值．运动点P并加以观察可得|MP|的最小值，即可得到z=（x+2）²+（y+2）²的最小值．

解答：解：作出不等式组

x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3

表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，
其中A（-2.5，2.5），B（3，-3），C（3，8），
（I）设n=F（x，y）=2x+y，将直线l：n=2x+y进行平移，
观察y轴上的截距变化，可得：
当l经过点A时，目标函数n达到最小值；
当l经过点C时，目标函数n达到最大值．
∴n_最小值=F（-2.5，2.5）=-2.5；
n_最大值=F（3，8）=14．
（II）设Q（-4，0），P（x，y）为区域内的动点，
可得w=

y

x+4

表示直线PQ的斜率，运动点P可得：
当P与B点重合时，k_PQ=

-3

3+4

=-

3

7

为最小值；当P与A重合时，k_PQ=

2.5

-2.5+4

=

5

3

为最大值．
∴w=

y

x+4

的最大值为

5

3

，最小值为-

3

7

；
（III）设P（x，y）为区域内一个动点，M（-2，-2），
则|MP|²=（x+2）²+（y+2）²，表示M、P两点距离的平方之值．
当P与M在AB上的射影重合时，|MP|=

|-2-2|

2

=2

2

达到最小值，
可得|OP|²的最小值为（2

2

）²=8，
∴z=（x+2）²+（y+2）²的最小值为8．

点评：本题着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式、两点间的距离公式与点到直线的距离公式和简单的线性规划等知识，属于中档题．