Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为AB的中点，求二面角B-CA₁-P的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCA₁的法向量和平面PCA₁的法向量，由此利用向量法能求出二面角B-CA₁-P的大小．

解答： 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
C（0，2，0），B（2，2，0），A₁（2，0，2），
P（2，1，0），

CA1

=（2，-2，2），

CB

=（2，0，0），

CP

=（2，-1，0），
设平面BCA₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • CB =2x=0 n • CA1 =2x-2y+2z=0

，取y=1，得

n

=（0，1，1），
设平面PCA₁的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • CP =2a-b=0 m • CA1 =2a-2b+2c=0

，取a=1，得

m

=（1，2，1），
设二面角B-CA₁-P的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n |•| m |

=

3

2 × 6

=

3

2

，
∴θ=

π

6

，
∴二面角B-CA₁-P的大小为

π

6

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．