Question

已知函数f（x）=

(x+a)•ex

x+1

（e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意x∈（

2

3

，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x-1）恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=

(x+1)f(x)

x( e +ex)

，T_n=1+2[g（

1

n

）+g（

2

n

）+g（

3

n

）+…+g（

n-1

n

）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有

1

T3

+

1

T6

+

1

T9

+…+

1

T3n

＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，利用条件列出方程，即可求实数a的值；
（Ⅱ）转化条件为对x∈(

2

3

，+∞)恒成立，即m≤

xex

2x-1

对x∈(

2

3

，+∞)恒成立，构造函数t(x)=

xex

2x-1

(x＞

2

3

)，求出t（x）_最小，即可得到实数m的取值范围．
（Ⅲ）通过g(x)=

(x+1)f(x)

x( e +ex)

，推出g(x)+g(1-x)=

ex+ e

e +ex

=1，化简g(

k

n

)+g(

n-k

n

)=1，(k=1，2，3，…，n-1)，推出T_n=n．然后求解

1

T3

+

1

T6

+

1

T9

+…+

1

T3n

=

1

3

(

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)，取n=2^m（m∈N^*），利用放缩法推出

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥1+

m

2

，当m趋向于+∞时，1+

m

2

趋向于+∞．然后说明结果．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

[ex+(x+a)•ex](x+1)-(x+a)•ex

(x+1)2

=

ex[x2+(a+1)x+1]

(x+1)2

依题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．
得：f′(1)=

(3+a)•e

4

=

3

4

e，
∴a=0，

（Ⅱ）对任意的x∈(

2

3

，+∞)，（x+1）f（x）≥m（2x-1）恒成立．
等价于xe^x-m（2x-1）≥0对x∈(

2

3

，+∞)恒成立，
即m≤

xex

2x-1

对x∈(

2

3

，+∞)恒成立
令t(x)=

xex

2x-1

(x＞

2

3

)，则m≤t（x）_最小
∵t′(x)=

ex(2x2-x-1)

(2x-1)2

由t′（x）=0得：x=1或x=-

1

2

（舍去）
当x∈(

2

3

，1)时，t′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0
∴t（x）在(

2

3

，1)上递减，在（1，+∞）上递增
∴t（x）_最小=t（1）=e，
∴m≤e．

（Ⅲ）g(x)=

(x+1)f(x)

x( e +ex)

=

ex

e +ex

，
g(1-x)=

e1-x

e +e1-x

=

e

e •ex+e

=

e

ex+ e

，
∴g(x)+g(1-x)=

ex+ e

e +ex

=1，
因此有g(

k

n

)+g(

n-k

n

)=1，(k=1，2，3，…，n-1)
由Tn=1+2[g(

1

n

)+g(

2

n

)+g(

3

n

)+…+g(

n-1

n

)]，
Tn=1+2[g(

n-1

n

)+g(

n-2

n

)+…+g(

1

n

)]
得2T_n=2+2[1+1+…+1]=2+2（n-1）=2n，∴T_n=n．

1

T3

+

1

T6

+

1

T9

+…+

1

T3n

=

1

3

(

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)，取n=2^m（m∈N^*），
则

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

=

1

1

+

1

2

+(

1

3

+

1

4

)+(

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

)+…+

1

2m

≥1+

1

2

×20+

1

22

×21+

1

23

×22+…+

1

2m

×2m-1=1+

m

2

，
当m趋向于+∞时，1+

m

2

趋向于+∞．
所以，不存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），
都有

1

T3

+

1

T6

+

1

T9

+…+

1

T3n

＜M成立．

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，构造法以及数列求和，放缩法的应用，难度大，考查知识面广．