Question

【题目】已知函数f（x）= sinxcosx+sin2x+ （x∈R）．
（Ⅰ）当x∈[﹣ ， ]时，求f（x）的最大值．
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c= ，f（C）=2，sinB=2sinA，求a．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）= sinxcosx+sin2x+
= sin2x+ +
= sin2x﹣ cos2x+1
=sin（2x﹣ ）+1（x∈R），
当x∈[﹣ ， ]时，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，
令2x﹣ = ，解得x= ，
此时sin（2x﹣ ）=1，
f（x）取得最大值f（x）max=2；
（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C﹣ ）+1=2，
∴ ，
∵0＜C＜π，∴ ，
令 ，
解得 ；
又∵sinB=2sinA，
∴ ，
∴b=2a；由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcos =3，
几a2+b2﹣ab=3，
整理得5a2﹣2a﹣3=0，
解得a=1或a=﹣ （不合题意，舍去），
∴a的值是1．
【解析】（Ⅰ）化简函数f（x）为正弦型函数，根据x∈[﹣ ， ]，求出2x﹣ 的范围，从而求出f（x）的最大值；（Ⅱ）根据f（C）=2求出C的值，再由正弦、余弦定理，即可求出a的值．