【题目】如图,四棱锥中,底面
为平行四边形,
底面
,
是棱
的中点,且
,
.
(1)求证:平面
.
(2)求二面角的大小;
(3)如果是棱
的中点,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)连结,由已知数据和勾股定理可得
,可得
,再由线面垂直关系可得
平面
;
(2)如图建立空间直角坐标系,由数量积和垂直关系可得平面的法向量
,又可得
是平面
的一个法向量,求解
,可得二面角
的大小;
(3)由是棱
的中点,可设
,
,设直线
与平面
所成角为
,由
,求解可得答案.
(1)证明:连结,
在
中,
,
,
,
,
,
,
又底面
,
,
,
平面
;
(2)如图建立空间直角坐标系,
则,
是棱
的中点,
,
,
.
设为平面
的法向量,
,即
,
令,则
,
平面
的法向量
平面
,
是平面
的一个法向量.
,
二面角
为锐二面角,
二面角
的大小为
.
(3)解:是棱
的中点,
设
,
,
设直线与平面
所成角为
,
由
.
直线
与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车120辆,混合动力型公交车300辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加,混合动力型车每年比上一年多投入
辆.设
,
分别为第
年投入的电力型公交车,混合动力型公交车的数量,设
,
分别为
年里投入的电力型公交车,混合动力型公交车的总数量.
(1)求,
,并求
年里投入的所有新公交车的总数
;
(2)该市计划用8年的时间完成全部更换,求的最小值.
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【题目】某手机厂商在销售某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”,保费为元,若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕,为了合理确定保费
的值,该手机厂商进行了问卷调查,统计后得到下表(其中
表示保费为
元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例):
(1)根据上面的数据计算得,求出
关于
的线性回归方程;
(2)若愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例超过,则手机厂商可以获利,现从表格中的
种保费任取
种,求这
种保费至少有一种能使厂商获利的概率.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
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【题目】某初级中学共有学生2000名,各年级男生女生人数如表: 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率是0.19.
初一年级 | 初二年级 | 初三年级 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
(1)求x的值.
(2)现用分层抽样法在全校抽取48名学生,问应在初三年级学生中抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求初三年级女生比男生多的概率.
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【题目】(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字,
,
,这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取
次,每次抽取
张,将抽取的卡片上的数字依次记为
,
,
.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字,
,
不完全相同”的概率.
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【题目】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图1).因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(如图2).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.因筒车上盛水筒的运动具有周期性,可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒(视为质点)的运动规律.将筒车抽象为一个几何图形,建立直角坐标系(如图3).设经过t秒后,筒车上的某个盛水筒从点P0运动到点P.由筒车的工作原理可知,这个盛水筒距离水面的高度H(单位:
),由以下量所决定:筒车转轮的中心O到水面的距离h,筒车的半径r,筒车转动的角速度ω(单位:
),盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t(单位:
).已知r=3
,h=2
,筒车每分钟转动(按逆时针方向)1.5圈, 点P0距离水面的高度为3.5
,若盛水筒M从点P0开始计算时间,则至少需要经过_______
就可到达最高点;若将点
距离水面的高度
表示为时间
的函数,则此函数表达式为_________.
图1 图2 图3
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