Question

如图①，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4；将△BCD沿CD折起，如图②，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，点F是AB的中点．
（1）求证：DE⊥平面BCD；
（2）在线段DE上是否存在一点G，使FG∥平面BDC？若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：在图①中，Rt△ABC，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∴∠BCA=60°，
又∵CD为∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠DCE=30°，
在Rt△BDC中，DC=2，∴BC：DC=DC：EC=：2
∴△BCD∽△DCE，从而∠EDC=∠DBC=90°，即ED⊥DC；
∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC
∴DE⊥平面BCD．…（7分）
（2）解：取AD的中点H，AC的中点M，连接FH、FM、MH，

在△ABD中，F、H分别为AB、AD的中点，则FH为△ABD的中位线，∴FH∥BD，
又∵FH?平面BDC，BD?平面BDC，∴FH∥平面BDC；
同理，MH∥平面BDC
又FH∩MH=H，FH?平面FMH，MH?平面FMH
∴平面FMH∥平面BDC；
记MH与DE交于点G，则FG?平面FMH，∴FG∥平面BDC，故G点为所求
∵EM=AM-AE=1，∴EM：MC=1：3，
∴EG：GD=1：3，即G为ED上最靠近E的四点分点．…（14分）
分析：（1）先证明ED⊥DC，再利用平面BCD⊥平面ACD，可得DE⊥平面BCD；
（2）取AD的中点H，AC的中点M，证明FH∥平面BDC、MH∥平面BDC，可得平面FMH∥平面BDC，记MH与DE交于点G，可得FG∥平面BDC，故G点为所求，由此可得结论．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题．