Question

【题目】函数，，其中常数.

（1）若函数与有相同的极值点，求的值；

（2）若，判断函数与图象的交点个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，有1个交点；当时，有3个交点.

【解析】

（1）先求出的极值点，再通过与有相同的极值点，可求出的值；

（2）判断函数与图象的交点个数，构造新函数，可将问题转化为求函数的零点个数，结合a的范围，利用函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况.

解：（1），的定义域都为，

，

令，得；令，得；令，得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

所以函数在处取得极小值；

又.

∴，解得，

经检验，满足题意，故.

（2）函数与的图象的交点个数等价于函数的零点个数.

，则.

①当时，令，则.

令，得，

令，得，

故函数在上单调递减，在上单调递增.

故.

则.故在上是增函数，此时由，可得函数有唯一的零点.

即函数与的图象有1个交点；

②当时，，

并且对于负数，有

，

，

，

，

又因为，

所以，

所以.

所以在区间上存在负数，使得，

则在上，，是增函数，

在区间上，，是减函数.

则，.

所以在上，有且仅有1个零点；

在区间上，，且是增函数，

所以存在正数，使得在上，，是减函数；

在上，，是增函数.

于是有，.

所以在上，恰有唯一的零点

所以当时，在上恰有三个不同的零点.

即函数与的图象有3个交点.

综上所述，当时，函数与的图象有1个交点；当时，函数与的图象有3个交点.