Question

（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.

（1）求椭圆方程；

（2）求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝，＝，………1分

∴a＝1，b＝c＝     ………………………………………3分

故C的方程为：y²＋＝1             ……………………………4分

（2）当直线斜率不存在时：      ……………………………………5分

当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0     …………………6分

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）………………7分

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　        …………………………………8分

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0……………………9分

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                      

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，       …………………10分

∴k²＝0，∴或

高三数学（理工类）参考答案第3页（共4页）

把k²＝代入（*）得或

 ∴或          ……………………………………11分

综上m的取值范围为或 ……………………………12分

【解析】略