Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E是正方形BCC₁B₁的中心，点F，G分别是棱C₁D₁，AA₁的中点．设点E₁，G₁分别是点E，G在平面DCC₁D₁内的正投影．
（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC₁D₁内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求异面直线E₁G₁与EA所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题作点E、G在平面DCC₁D₁内的正投影E₁、G₁，则E₁、G₁分别为CC₁、DD₁的中点，四边形FGAE在平面DCC₁D₁内的正投影为底面边界即为四边形DE₁FG₁，面积为，由题意可证EE₁为该棱锥的高，代入体积公式可求；
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所在直线分别作x轴，y轴，z轴；要证直线FG₁⊥平面FEE_1?FG₁⊥FE，FG₁⊥FE_1?，利用空间向量的数量积可证；
（3）异面直线E₁G₁与EA所成角?所成的角，利用公式可求；
解答：解：（1）依题作点E、G在平面DCC₁D₁内的正投影E₁、G₁，
则E₁、G₁分别为CC₁、DD₁的中点，
连接EE₁、EG₁、ED、DE₁，
则所求为四棱锥E-DE₁FG₁的体积，
其底面DE₁FG₁面积为=，（3分）
又EE₁⊥面DE₁FG₁，EE₁=1，
∴．（6分）
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所在直线分别作x轴，y轴，z轴，
得E₁（0，2，1）、G₁（0，0，1），又G（2，0，1），F（0，1，2），E（1，2，1），
则，，，
∴，，
即FG₁⊥FE，FG₁⊥FE₁，
又FE₁∩FE=F，∴FG₁⊥平面FEE₁．（10分）
（3），，
则，
设异面直线E₁G₁与EA所成角为θ，则．（14分）
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，利用空间向量的方法把求异面直线所成的角转化为向量所成的角，锥体的体积的求解，关键是确定该棱锥的高及底面．