Question

现有若干枚形状完全相同的硬币，已知其中一枚略重，其余各枚重量均相同，要求使用天平（不用砝码），将略重的那枚硬币找出来．小王的方案是：首先任取两枚放在天平两侧进行称量，若天平不平衡，则重的那边为略重的那枚硬币：若天干平衡，将两枚都取下，从剩下的硬币中再任取两枚放在天平两侧进行称量，如此进行下去，直到找到那枚略重的硬币为止．若小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬币的概率为．
（I ）请问共有多少枚硬币？
（II）设ξ为找到略重那枚硬币时己称量的次数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬币的概率为建立等式，解之即可；
（II）ξ的取值为1，2，3，4，然后根据等可能事件的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）设共有n枚硬币，根据题意得
P₁==，解得n=9．…（2分）
（Ⅱ）ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==
P（ξ=4）==．…（10分）
∴ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P

∴Eξ=1×+2×+3×+4×=．…（12分）
点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列和数学期望，以及等可能事件的概率，同时考查了计算能力，属于中档题．