Question

【题目】设，且．

（1）求的值及的定义域；

（2）求在区间上的值域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

分析：(1)因为，代入解析式可得，进而可得＝2。求定义域，使得解析式由意义即可，可得解不等式组可得定义域(－1,3)。(2) 要求在区间上的最大值。应先出解析式，进而求单调性。由(1)可得)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)变形为f(x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，因为函数y=－(x－1)2＋4对称轴为，根据复合函数的单调性可得当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，进而得函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

详解：(1)∵f(1)＝2，

∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，

∴＝2.

由得x∈(－1,3)，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3).

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.