Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．

（1）求证：ABDE=BCCE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BE，OC，AC，OC∩BE=F，则

∵CD是圆O的切线，

∴OC⊥l，

∵AD⊥l，∴AD∥OC，

∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，

∵AD⊥l，∴l∥BE，

∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，

∵∠EDC=∠BCA=90°，

∴△EDC∽△BCA，

∴ = ，

∴ABDE=BCCE

（2）解：由（1）可知四边形EFCD是矩形，

∴DE=CF，

∵圆O的直径AB=8，BC=4，

∴∠ABC=60°

∴△OBC是等边三角形，

∴∠EBA=30°，AE=4．

【解析】（1）连接BE，OC，OC∩BE=F，证明△EDC∽△BCA，即可证明ABDE=BCCE；（2）证明四边形EFCD是矩形，△OBC是等边三角形，即可得出结论．