Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AA₁、D₁C₁的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l；
（1）画出直线l；
（2）设l∩A₁B₁=P，求PB₁的长；
（3）求D到l的距离．

Answer 1

分析：（1）根据正方体的几何特征，我们易得连接DM并延长交D₁A₁的延长线于Q．连接NQ，即可得到满足条件的直线l；
（2）若l∩A₁B₁=P，即QN∩A₁B₁=P，我们易根据三角形相似的性质得到A₁是QD₁的中点．进而求出PB₁的长；
（3）作D₁H⊥l于H，连接DH，根据正方体的几何特征，易得DH⊥l，即DH的长就是D到l的距离．解Rt△QD₁N即可得到答案．

解答：解：（1）连接DM并延长交D₁A₁的延长线于Q．连接NQ，
则NQ即为所求的直线l．
（2）设QN∩A₁B₁=P，△A₁MQ≌△MAD，
∴A₁Q=AD=A₁D₁，A₁是QD₁的中点．
∴A₁P=

1

2

D₁N=

a

4

．∴PB₁=

3

4

a．
（3）作D₁H⊥l于H，连接DH，可证明l⊥平面DD₁H，则DH⊥l，则DH的长就是D到l的距离．
在Rt△QD₁N中，两直角边D₁N=

a

2

，D₁Q=2a，斜边QN=

17

2

a，∴D₁H•QN=D₁N•D₁Q，即D₁H=

2 17

17

a，DH=

( 2 17 17 a)2+a2

=

357

17

a，∴D₁到l的距离为

357

17

a．

点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，点到直线的距离计算，其中熟练掌握正方体的几何特征，是解答本题的关键．