Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$．
（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：$\frac{k}{k'}$为定值；
（2）若$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{FP}$且△APQ的面积为$\frac{{12\sqrt{15}}}{5}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设P（x₁，y₁），则Q（-x₂，y₂），由$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$．解得：x₂=$\frac{3}{2}$c，由直线的斜率公式k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-c}$=$\frac{2{y}_{2}}{c}$，k'=$\frac{{y}_{2}}{-{x}_{2}-c}$=$\frac{2{y}_{2}}{-5c}$，$\frac{k}{k'}$=-5为定值；
（2）由$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{FP}$，$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$，$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FP}$，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，由c²=a²-b²，$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{2}{3}$，因此$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{y}_{1}^{2}}{\frac{3{c}^{2}}{2}}$=$\frac{1}{10}$，$\frac{{y}_{1}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{3}{20}$，由三角形的面积公式可知：S_△APQ=$\frac{1}{2}$•3c•4y₁=6cy₁=$\frac{{12\sqrt{15}}}{5}$，求得c²${y}_{1}^{2}$=$\frac{12}{5}$，即可求得c的值，求得椭圆方程．

解答 解：（1）设焦点F（c，0），由c²=a²-b²，P（x₁，y₁），则Q（-x₂，y₂），
∴直线PF的斜率k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-c}$，QF的斜率k'=$\frac{{y}_{2}}{-{x}_{2}-c}$，
∵$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$．
∴c=2（x₂-c），即x₂=$\frac{3}{2}$c  …（3分）
∴k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-c}$=$\frac{2{y}_{2}}{c}$，k'=$\frac{{y}_{2}}{-{x}_{2}-c}$=$\frac{2{y}_{2}}{-5c}$，
∴k=-5k'，即$\frac{k}{k'}$=-5为定值． …（6分）
（2）若$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{FP}$，$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$则丨AF丨=3丨FP丨，
$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FP}$，解得：A（-$\frac{1}{2}$c，-3y₁）
∵点A、P在椭圆C上，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{9{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
整理得：$\frac{80{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=8，解得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，…（10分）
则$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{2}{3}$，代入得：$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{y}_{1}^{2}}{\frac{3{c}^{2}}{2}}$=$\frac{1}{10}$，$\frac{{y}_{1}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{3}{20}$，
∵△APQ的面积为S_△APQ=$\frac{1}{2}$•3c•4y₁=6cy₁=$\frac{{12\sqrt{15}}}{5}$，
解得：c²${y}_{1}^{2}$=$\frac{12}{5}$，
∴c²=4，…（14分）
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$． …（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，向量数量积的坐标表示及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．