Question

6．已知点N（1，3），若椭圆3x²+y²=λ上存在两点A、B，使得$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NB}$，且线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
（1）求直线AB的方程；
（2）是否存在λ，使得A、B、C、D四点共圆？若存在，写出圆的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，代入3x²+y²=λ，整理得：（k²+3）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0，然后结合题设条件由根与经数的关系和根的判别式能够求出直线AB的方程．
（2）由题意知直线CD的方程为x-y+2=0代入椭圆方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．由弦长公式可得|CD|．将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x²-8x+16-λ=0．同理可得|AB|．由此可以推出存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上．

解答 解：（1）依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，
代入3x²+y²=λ，整理得：（k²+3）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0，①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两个不同的根，
∴△=4[λ（k²+3）-3（k-3）²]＞0，②
且x₁+x₂=$\frac{2k（k-3）}{k+3}$．
由N（1，3）是线段AB的中点，得x₁+x₂=2，
∴k（k-3）=k²+3解得k=-1，代入②得λ＞12，
即λ的取值范围是（12，+∞）．
于是直线AB的方程为y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
（2）∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．③
又设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），CD的中点为M（x₀，y₀），
则x₃，x₄是方程③的两根，
∴x₃+x₄=-1，且x₀=$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=-$\frac{1}{2}$，y₀=x₀+2=$\frac{3}{2}$，即M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
于是由弦长公式可得|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•|x₃-x₄|=$\sqrt{2（λ-3）}$．④
将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x²-8x+16-λ=0．⑤
同理可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{2（λ-12）}$．⑥
∵当λ＞12时，$\sqrt{2（λ-3）}$＞$\sqrt{2（λ-12）}$，
∴|AB|＜|CD|．
假设存在λ＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．
点M到直线AB的距离为d=$\frac{|-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．⑦
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|²=|MB|²=d²+$|\frac{AB}{2}{|}^{2}$=$\frac{λ-3}{2}$=$|\frac{CD}{2}{|}^{2}$．
故当λ＞12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|$\frac{CD}{2}$|为半径的圆上．

点评 本题综合考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，难度较大，