Question

若数列{a_n}中a₁=2，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）都分布在函数g（x）=

3	2x

的图象上，若有函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a_n），当n=7时，则f′（0）=（　　）

A、2⁷

B、-2⁷

C、4⁷

D、-4⁷

Answer 1

分析：先根据导数的定义得f′（0）=（-1）ⁿa₁a₂…a_n．又数列{a_n}中a₁=2，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）都分布在函数g（x）=

3	2

x的图象上，a_n+1=

3	2

a_n，从而{a_n}是等比数列，求出其通项公式，最后即可求出f′（0）=（-1）ⁿa₁a₂…a_n的值．

解答：解：根据导数的定义得
f′（0）=

lim

△x→0

f(0+△x)-f (0)

△x

=

lim

△x→0

△x(△x-a1)(△x-a2)…(△x-an)

△x

=（-1）ⁿa₁a₂…a_n．
又数列{a_n}中a₁=2，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）都分布在函数g（x）=

3	2

x的图象上，
∴a_n+1=

3	2

a_n，故{a_n}是等比数列，
∴a_n=2×2 

1

3

(n-1)=2 

1

3

n+

2

3

，
∴f′（0）=（-1）ⁿa₁a₂…a_n
=（-1）ⁿ×2×2 

1

3

×2+

2

3

×2 

1

3

×3+

2

3

×…×2 

1

3

n+

2

3

=（-1）ⁿ×2 

n(n+5)

6

，
当n=7时，则f′（0）=-4⁷
故选D．

点评：本题主要考查了数列递推式，导数的定义，考查了等比数列和等差数列，属于中档题．