Question

【题目】如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路ll，l2，且ll和l2交于点O．为了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB．景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O，半径为2百米的圆，且公路AB与圆O相切，圆心O到ll，l2的距离均为5百米，设OAB＝，AB长为L百米．

（1）求L关于的函数解析式；

（2）当为何值时，公路AB的长度最短？

Answer 1

【答案】（1），.（2）当时，公路的长度最短

【解析】

（1）建立平面直角坐标系，得到直线方程为，然后根据直线与圆相切，得，再根据题意得到，于是，即为所求．（2）利用换元法求解，令，则，且，于是，然后结合导数求解可得所求最值．

（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则．

在直角中，，，

所以直线方程为，

即，

因为直线与圆相切，

所以，

因为点在直线的上方，

所以，

解得．

因此L关于的函数解析式为，．

（2）令，则，且，

所以，

因为，

所以在上单调递减，

所以当，即时，取得最小值，且．

故当时，公路的长度最短．