Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，，E是PC的中点，平面PAC⊥平面ABCD．

（1）证明：ED∥平面PAB；

（2）若，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取PB的中点F，连接AF，EF，通过证明四边形ADEF是平行四边形，得到DE∥AF，从而证出ED∥平面PAB；

（2）通过做辅助线找到二面角A﹣PC﹣D的平面角，求出其余弦值即可．

（1）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．

∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF．

又AD＝BC，且ADBC，∴AD∥EF且AD＝EF，

∴四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，

又DE面ABP，AF面ABP，

∴ED∥面PAB．

（2）解：取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD＝MC，

∴四边形ADCM是平行四边形，

∴AM＝MC＝MB，则A在以BC为直径的圆上．

∴AB⊥AC，可得AC．

过D作DG⊥AC于G，

∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，

∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．

过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，

∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．

在△ADC中，GD，

连接AE， cos∠ACE，

AE，

∵点P到AC的距离d1，

∴点A到PC的距离．

GH．

在Rt△GDH中，HD，

∴cos∠GHD．

即二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．