Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上的一个动点，当直线的斜率等于时，轴.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点且斜率为的直线与直线相交于点，试判断以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）首先根据题设给的点的特殊位置，建立关于的等式，再通过解方程求出，从而得到所求标准方程；（Ⅱ）首先根据条件利用直线方程的点斜式得到直线的方程，并利用椭圆方程整理化简方程，然后求出点的坐标，再根据圆的知识转化成向量垂直，进而求出定点坐标.

（Ⅰ）依题意，

又因为， 所以，解得.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）直线的方程：即，

依题意，有，即，

所以的方程为，所以点，

设定点，由，

即，所以，

综上，存在定点符合条件.