Question

（本题满分12分） 已知函数．

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；

（3）当且时，试比较的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）当时在上没有极值点，

当时，在上有一个极值点（2）（3）当0<x<e时,当e<x<e²时

【解析】

试题分析：（Ⅰ），当时，在上恒成立，函数 在单调递减，∴在上没有极值点；

当时，得，得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．

∴当时在上没有极值点，

当时，在上有一个极值点．-----3分

（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，

∴，---------5分

令，可得在上递减，在上递增，

∴，即．------- 7分

（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e²)上单调减

 ∴0<x<y<e²时， 即

  当0<x<e时，1-lnx>0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴

  当e<x<e²时，1-lnx<0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴-----12分

考点：利用函数的导数求极值最值单调区间

点评：不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题。