Question

已知向量

a

=（cosωx，

3

cosωx），

b

=（sinωx，cosωx）（其中0＜ω≤1），记f（x）=

a

•

b

-

3

2

，且满足f（x+π）=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[-

π

12

，

5π

12

]时，求函数y=f（x）的值域；
（3）如果关于x的方程3[f（x）]²+mf（x）-1=0在区间[-

π

12

，

5π

12

]上有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）先表示出f（x），利用两角和公式和二倍角公式化简，利用f（x+π）=f（x）推断出函数的周期，进而求得ω，函数的解析式可得．
（2）根据x的范围确定2x+

π

3

的范围，进而根据正弦函数的性质求得函数的值域．
（3）根据题意推断出方程有三个不相等的根，需要2个根在[

1

2

，1]，另一个根在[-

1

2

，

1

2

）上，根据二次函数的性质列不等式组求解．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

-

3

2

=cosωxsinωx+

3

cos²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2x=sin（2ωx+

π

3

），
∵f（x+π）=f（x）．
∴函数的周期为π，
∴T=

2π

2ω

=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（2）∵x∈[-

π

12

，

5π

12

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
即函数f（x）的值域为：[-

1

2

，1]．
（3）要使方程有三个不相等的根，需要2个根在[

1

2

，1]，另一个根在[-

1

2

，

1

2

）上，
令t=f（x），g（t）=3t²+mt-1，
则有

g(1)=3+m-1＞0 g( 1 2 )= 3 4 + t 2 -1≤0 g(- 1 2 )= 3 4 - t 2 -1≥0

，求得-2＜m≤-

1

2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质，二次函数的性质．运用数形结合的思想和转化与化归的思想．