Question

【题目】【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】已知椭圆的中心为坐标原点，椭圆短轴长为，动点（）在椭圆的准线上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；

（3）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值，并求出这个定值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 圆的方程为 (3)

【解析】试题分析：（1）由已知可得b，又M在准线上，可得a,c关系，解方程即可求出a，写出椭圆标准方程；（2）利用直线与圆相交所得弦心距、半弦长、半径所成直角三角形可得出圆的方程；（3）由平几知： ，将OK,OM表示出来，代入上式整理即可求出线段的长为定值2.

试题解析：

（1）由，得

又由点在准线上，得，故，∴从而

所以椭圆方程为

（2）以为直径的圆的方程为

其圆心为，半径

因为以为直径的圆被直线截得的弦长为

所以圆心到直线的距离

所以，解得

所以圆的方程为

（3）由平几知：

直线： ，直线：

由得∴

所以线段的长为定值