Question

试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x∈[0，

π

2

]呢？

Answer 1

分析：注意sinx+cosx与sinx•cosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解．

解答：解：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
则y=t²+t+1∈[

3

4

，3+

2

]，
即最大值为3+

2

，最小值为

3

4

．当x∈[0，

π

2

]时，则t∈[1，

2

]，
此时y的最大值是3+

2

，而最小值是3．

点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值，二次函数的性质．此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围．