Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₇，a₅，a₃，a₆；　　　　
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求证：．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，a_n+3=a_n+3，
∴a₄=4，a₇=7
∵a_n+2≥a_n+2
∴a₃≥3，a₅≥a₃+2，a₇≥a₅+2，
∴a₅=5，a₃=3，a₆=a₃+3=6
（2）∵a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）
∴a_n+3≤a_n+2+1（n∈N^*）
∴a_n+1≤a_n+1，a_n+2≤a_n+1+1
∴a_n+1+a_n+2+a_n+3≤a_n+a_n+1+a_n+2+3，即a_n+3≤a_n+3
∴a_n+1=a_n+1，a_n+2=a_n+1+1，a_n+3=a_n+2+1
∴{a_n}为等差数列，公差d=1．
∴a_n=n
（3）证明：n=1时，=1＜2成立n＞1时，
∵=（n＞1）
∴
＜=＜2
∴
分析：（1）利用已知条件a_n+3=a_n+3，求出a₄=4，a₇=7，再利用条件a_n+2≥a_n+2得到a₇，a₅，a₃，a₆值．
（2）利用已知条件a_n+2≥a_n+2得到数列的递推关系，利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，利用通项公式求出
数列{a_n}的通项公式a_n．
（3）先求出通项=，再将其放缩，然后利用裂项相消的方法证出不等式．
点评：证明与数列的和有关的不等式时，一般能求和的先求出和，若不能求和，常通过放缩法转化为能求和的数列和的不等式再证明．