Question

函数f（x）=

1

3

ax³+x²+x+1（a≠0）在区间（0，1]上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（-∞，-3]
• B、[-3，0）∪（0，+∞）
• C、（-∞，-3）∪（0，+∞）
• D、[-3，0）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：问题转化为a≥-

2

x

-

1

x2

在区间（0，1]上恒成立，令g（x）=-

2

x

-

1

x2

，（0＜x≤1），求出函数g（x）的导数，得到其单调性，从而求出g（x）的最大值，进而求出a的范围．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

ax³+x²+x+1（a≠0）在区间（0，1]上单调递增，
∴f′（x）=ax²+2x+1≥0在区间（0，1]上恒成立，
∴a≥-

2

x

-

1

x2

在区间（0，1]上恒成立，
令g（x）=-

2

x

-

1

x2

，（0＜x≤1），
∴g′（x）=

2

x2

+

2

x3

＞0，
∴g（x）在（0，1]单调递增，
∴g（x）_max=g（1）=-3，
∴a≥-3，且a≠0，
故选：B．

点评：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查了转化思想，是一道中档题．