Question

5．设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），对任意实数t都有f（2+t）=f（2-t）成立，给出以下说法：
（1）b=-4a；
（2）当a＞0且$\frac{m+n}{2}$＞2时，f（x）在区间[n，m]上的最大值为f（m）；
（3）无论a如何取值，函数值f（1），f（-1），f（$\frac{5}{2}$）中，最小的一个不可能是f（1）．
其中正确的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由f （2+t）=f （2-t） 知函数函数图象关于x=2对称，再分别判断，即可得出结论．

解答 解：对于（1），∵函数f （x）=ax²+bx+c对任意实数t都有f （2+t）=f （2-t）成立
∴函数图象关于x=2对称，∴-$\frac{b}{2a}$=2，∴b=-4a，即（1）正确；
对于（2），∵当a＞0且$\frac{m+n}{2}$＞2时，m-2＞2-n，∴f（x）在区间[n，m]上的最大值为f（m），即（2）正确；
对于（3），当a＞0时f（$\frac{5}{2}$）最小，当a＜0时f（-1）最小，所以f（1）不可能最小的，即（3）正确．
故选：D．

点评 本题考查二次函数的性质和应用，解题时要注意函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2．