Question

6．证明：函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$在x∈[1，+∞）时单调递增．

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，可以看出需要分子有理化，从而可以证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得出f（x）在[1，+∞）上单调递增．

解答 证明：设x₁＞x₂≥1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}}$；
∵x₁＞x₂≥1；
∴${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}＞0$，$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在x∈[1，+∞）时单调递增．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，分子有理化的运用．