Question

二次函数f（x）满足f（1）=1，f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．
（3）若f（x）定义域为[0，m]，值域为[1，3]，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），然后把已知代入函数解析式，建立关系a，b，c的方程，解可求
（2）由f（x）在区间[2a，a+1]上不单调可知对称轴x=1∈（2a，a+1）且a+1＞2a，解不等式可求a的范围
（3）先求出函数的对称轴x=1，结合已知分类讨论对称轴与区间[0，m]的关系，然后分别求解即可

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（1）=1，f（0）=f（2）=3．
∴a

a+b+c=1 c=3 4a+2b+c=3

，解可得a=2，b=-4，c=3
∴f（x）=2x²-4x+3
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调
则函数的对称轴x=1∈（2a，a+1）且a+1＞2a
∴2a＜1＜a+1
解可得0＜a＜

1

2

（3）函数的对称轴x=1
①若0＜m≤1，则函数在[0，m]上单调递减，函数的最大值为f（0）=3，最小值f（m）=2m²-4m+3=1
解可得m=1，符合题意
②若m＞1，则函数在[0，1]上单调递减，[1，m]上单调递增，最小值f（1）=1，
而f（0）=3，f（m）=2m²-4m+3，由最大值为3可知2m²-4m+3≥3
解可得m≥2
综上可得，m≥2或m=1

点评：本题主要考查了待定系数求解二次函数的解析式及二次函数在闭区间上的最值求解，体现了分类讨论思想的应用