分析:(Ⅰ)由a
1=
,
=,能求出数列{a
n} 的通项公式.
(Ⅱ)由b
n+2=3
logan(n∈N
*),
an=()n,知
bn=3log()n-2=3n-2,由此能证明数列{b
n}是等差数列.
(Ⅲ)由
an=()n,b
n=3n-2,n∈N
*,c
n=a
n•b
n,
cn=(3n-2)×()n,由此利用错位相减法能求出{c
n} 的前n项和S
n.
解答:(Ⅰ)解:∵a
1=
,
=,
∴数列{a
n}是首项为
,公比为
的等比数列,
∴
an=()n,n∈N
*.
(Ⅱ)证明:∵b
n+2=3
logan(n∈N
*),
an=()n,
∴
bn=3log()n-2=3n-2,
∴b
1=1,公差d=3,
∴数列{b
n}是首项b
1=1,公差d=3的等差数列.
(Ⅲ)解:∵
an=()n,b
n=3n-2,n∈N
*,c
n=a
n•b
n,
∴
cn=(3n-2)×()n,
∴
Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n-5)×()n-1+(3n-2)×()n,①
Sn=1×
()2+4×(
)
3+7×(
)
4+…+(3n-5)×(
)
n+(3n-2)×(
)
n+1,②
①-②,得
Sn=+3[()2+()3+…+()n]-(3n-2)×(
)
n+1=
-(3n-2)×(
)
n+1-(
)
n+1,
∴
Sn=-×()n+1,n∈N
*.
点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查等差数列的证明,考查数列的前n项和的求法.解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.