Question

16．已知函数R（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x=0\\ \frac{1}{p}，x=\frac{q}{p}\\ 0，x∈{C_R}Q\end{array}$（p∈N⁺}，q∈Z且q≠0）其中p，q的公约数只有1，在下列结论中正确的有（　　）①R（$\frac{1}{4}$）=R（$\frac{3}{4}$）； ②R（$\frac{1}{5}$）=R（$\frac{6}{5}$）；③?x∈R，R（-x）=R（x）；④?x∈R，R（x+1）=R（x）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ①②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 由题目给出的定义判断①②正确；由分段函数的奇偶性判断③正确；由函数的周期性判断④正确．

解答 解：由R（x）=$\frac{1}{p}$，（p∈N⁺，q∈Z且q≠0，其中p，q的公约数只有1），
可得R（$\frac{1}{4}$）=R（$\frac{3}{4}$），R（$\frac{1}{5}$）=R（$\frac{6}{5}$），故①②正确；
∵R（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x=0\\ \frac{1}{p}，x=\frac{q}{p}\\ 0，x∈{C_R}Q\end{array}$（p∈N⁺}，∴当x=0时，R（-0）=R（0）=1；当x=$\frac{q}{p}$时，R（-x）=R（-$\frac{q}{p}$）=$\frac{1}{p}$=R（$\frac{q}{p}$）=R（x）；当x∈C_RQ时，R（-x）=R（x）=0．
∴?x∈R，R（-x）=R（x），故③正确；
当x=0时，R（0）=1=R（1）；当x=$\frac{q}{p}$时，R（$\frac{q}{p}$）=R（$\frac{q}{p}+1$）=R（$\frac{q+1}{p}$）=$\frac{1}{p}$；当x∈C_RQ时，x+1∈C_RQ，R（x+1）=R（x）．
∴?x∈R，R（x+1）=R（x），故④正确．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了新定义下的函数性质，是中档题．