Question

5．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点F为抛物线y²=4x的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F任作两条互相垂直的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于A，B两点和C，D两点；
①试探究$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由；
②求四边形ACBD面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意：离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点F为抛物线y²=4x的焦点．建立关系解出a，b．
（2）①：利用F，设其中一条直线方程，设而不求法；把AB和CD线段表示出来，圆锥曲线的定义、性质与方程求证即可．
②直线l₁，l₂相互垂直，利用①，即可求四边形ACBD面积的最大值和最小值．

解答 解：（1）由题意：离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点F为抛物线y²=4x的焦点．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，右焦点F（c，0），抛物线y²=4x的焦点为：（1，0）
∴c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$
所以：椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）可知右焦点F（1，0），
k不存在时：过AB直线l₁为：x=1，则过CD直线l₂为：y=0
∴|AB|=3，|CD|=2a=4
所以：$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$（定值）
k存在时：
设过AB直线l₁为：y=k（x-1），则过CD直线l₂为：y=$-\frac{1}{k}$（x-1），
设A（x_A，y_A），B（（x_B，y_B））C（x_C，y_C），D（x_D，y_D）
由$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，y=k（x-1），
可得：x_A+x_B=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$
             x_Ax_B=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$
同理：
由$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，y=$-\frac{1}{k}$（x-1），
可得：x_C+x_D=$\frac{8}{3{k}^{2}+4}$
        x_Cx_D=$\frac{4-12{k}^{2}}{3{k}^{2}+4}$
|CD|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$
∴$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{7}{12}$（定值）
②四边形ACBD面积=|AB|×|CD|
当k不存在时：|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，|CD|=2a=4
S=$\frac{1}{2}$×3×4=6
k存在时：
S=$\frac{1}{2}×$$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$=$\frac{72（{k}^{2}+1）^{2}}{12{k}^{4}+25{k}^{2}+12}$=$\frac{72（{k}^{2}+1）^{2}}{12（{k}^{2}+1）^{2}+{k}^{2}}$=$\frac{72}{12+（\frac{k}{{k}^{2}+1}）^{2}}$
令$y=\frac{k}{{k}^{2}+1}$
则$\frac{1}{y}=k+\frac{1}{k}≥2$（当且当k=1时取等号）
∴$0≤{y}^{2}≤\frac{1}{4}$
所以：S_max=6
        ${S}_{min}=\frac{288}{49}$

点评 本题考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，基本不等式的运用，计算量大，要求能力高，属于难题．