Question

14．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．
（1）求BC长；
（2）求此山对于地平面的倾斜角θ（计算出函数值即可）．

Answer 1

分析 （1）在三角形ABC中，由∠CBD-∠CAB求出∠ACB的度数，再由AB的长，以及sin∠CAB与sin∠ACB的值，利用正弦定理表示出BC；
（2）在三角形DBC中，由CD，∠CBD=45°与∠CDB=90°+θ，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入利用诱导公式化简，即可求出cosθ的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∠BAC=15°，AB=100米，∠ACB=45°-15°=30°．
根据正弦定理有$\frac{100}{sin30°}$=$\frac{BC}{sin15°}$，∴BC=50（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．…（6分）
（2）在△BCD中，∵CD=50，BC=$\frac{100sin15°}{sin30°}$，∠CBD=45°，∠CDB=90°+θ，
根据正弦定理有$\frac{CD}{sin45°}$=$\frac{BC}{sin（90°+θ）}$，
解得cosθ=$\sqrt{3}$-1  …（12分）

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．