Question

设双曲线C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）与直线l：y+x=1相交于两不同点A，B，设直线l与y轴交点为P，且

PA

=

5

12

PB

，则a=

 

．

Answer 1

分析：由曲线C与直线l有两个不同交点，得其两方程联立后二次方程的△＞0，借助向量相等条件，韦达定理，列出只含a的方程，再求解

解答：解：把直线与双曲线方程联立消去y得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1），
∵

PA

=

5

12

PB

，
∴（x₁，y₁-1）=

5

12

（x₂，y₂-1），
求得x₁=

5

12

x₂，
∵x₁+x₂=

17

12

x₂=-

2a2

1-a2

，x₁x₂=

5

12

x₂²=-

2a2

1-a2

，
消去x₂得-

2a2

1-a2

=

289

60

，a=

17

13

故答案为：

17

13

点评：本题考查直线、双曲线的概念性质，韦达定理、不等式、平面向量的运算，解方程等知识，考查数形结合，方程、不等式的思想方法，以及推理运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力．