Question

10．已知向量$\vec a=（cos\frac{3x}{2}，sin\frac{3x}{2}）$，$\vec b=（cos\frac{x}{2}，-sin\frac{x}{2}）$且$x∈[0，\frac{π}{2}]$．
（1）求$\vec a•\vec b$及$|{\vec a+\vec b}|$；
（2）若$f（x）=\vec a•\vec b-\sqrt{3}|{\vec a+\vec b}|sinx$，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件通过向量的数量积化简求解，通过向量的模化简求解即可．
（2）利用（1）的结果，利用两角和与差的三角函数化简，通过x的范围求解相位的范围，借助三角函数的有界性求解即可．

解答 解：（1）$\vec a•\vec b=cos\frac{3x}{2}•cos\frac{x}{2}+sin\frac{3x}{2}•（-sin\frac{x}{2}）=cos2x$，
$|{\vec a+\vec b}|$=$\sqrt{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}+（{sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2+2cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}-2sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=$\sqrt{4co{s}^{2}x}$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴cosx≥0，∴$|{\vec a+\vec b}|=2cosx$．
（2）由（1）知：$f（x）=cos2x-\sqrt{3}•2cosx•sinx$=$cos2x-\sqrt{3}sin2x=2cos（2x+\frac{π}{3}）$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，∴$cos（2x+\frac{π}{3}）∈[-1，\frac{1}{2}]$，
∴$当2x+\frac{π}{3}=π即x=\frac{π}{3}时，f{（x）_{min}}=-2$，
$当2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{3}即x=0时，f{（x）_{max}}=1$

点评 本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，两角和与差的三角函数以及三角函数的有界性的应用，考查计算能力．