Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2
（1）若数列{a_n}是首项和公差都有1的等差数列，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若{b_n}=2ⁿ，试判断数列{a_n}是否是等差数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）依题意数列{a_n}的通项公式是a_n=n，
故等式即为b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2
∴b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2）
两式相减可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1
∴b_n=2^n-1，即数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）∵2ⁿa₁+2^n-1a₂+…+2a_n=2ⁿ⁺¹-n-2
∴2n-1a1+2n-2a2+…+2an-1=2n-n-1
两式联立可得，2（2ⁿ-n-1）+2a_n=2ⁿ⁺¹-n-2
an=

1

2

n