Question

已知方程x³+ax²+bx+c=0的三个实根可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率．（1）求a+b+c的值；（2）求的取值范围．

Answer 1

解：（1）令f（x）=x³+ax²+bx+c
∵抛物线的离心率为1
∴1是方程f（x）=x³+ax²+bx+c=0的一个实根
∴a+b+c=-1
（2）1+a+b+c=0得c=-1-a-b代入
f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b
=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]
设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b
g（x）=0的两根满足0＜x₁＜1，x₂＞1
g（0）=1+a+b＞0
g（1）=3+2a+b＜0
用线性规划得-2＜＜-
故答案为：-1，
分析：（1）令f（x）=x³+ax²+bx+c，把x=1，y=0代入函数解析式求得a+b+c的值；
（2）然后求得a，b和c的关系代入函数解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b椭圆和双曲线的离心率的范围确定两根的范围确定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用线性规划求得 的范围．
点评：本题主要考查了函数的零点和根的分布，圆锥曲线的共同特征，线性规划的基础知识．考查基础知识的综合运用．