Question

（本小题满分12分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．

   （1）求证：平面；

   （2）求直线与平面所成的角的大小；

   （3）求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ) 见解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，

．   ………………………1分

∵平面平面，又∵，

平面．          ……………………2分

平面，．……………3分

平面．            ………………4分

 (Ⅱ)连结，

平面，

是直线与平面所成的角． ………5分

设，则

，，   ………………………6分

， ． 

即直线与平面所成的角为…8分

（Ⅲ）过作于，连结．   ……………………9分

平面，．平面．

是二面角的平面角． ……10分

∵平面平面，平面．

．

在中， ，有．

由(Ⅱ)所设可得

，，

．  ………………10分

．．

∴二面角等于．      ……………………12分

解法二: ∵四边形是正方形 ，，

∵平面平面，平面，     ………2分

∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，

分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空

间直角坐标系．

设，则

，

      是正方形的对角线的交点，

．……………4分

（Ⅰ），，

，

，   ……………………………………4分

平面．  ………………5分

（Ⅱ） 平面，为平面的一个法向量，…………6分

，．……………7分

．∴直线与平面所成的角为．   ……8分

(Ⅲ) 设平面的法向量为，则且，

且．

      即

取，则， 则．………………10分

又∵为平面的一个法向量，且，

，设二面角的平面角为，则，．∴二面角等于．…12分