Question

如图，已知长方体，直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.

（I）求异面直线与所成的角；

（II）求平面与平面所成的二面角（锐角）的大小；

（III）求点到平面的距离.

Answer 1

解法一：

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，AA₁所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图。

由已知AB=2,AA₁=1可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1)。

又AD⊥平面AA₁B₁B，从而BD与平面AA₁B₁B所成的角为∠DB A=30°，

又AB=2，AE⊥BD，AE=1,AD=，

从而易得E(),D()

（I）∵,

    ∴

 即异面直线AE,BF所成的角为

（II）易知平面AA₁B的一个法向量m=(0,1,0)设是平面BDF的一个法向量，

由

取

∴

即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为

（III）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值，

所以距离

       

      

    所以点A到平面的距离为

解法二： (Ⅰ)连结B₁D₁，过F作B₁D₁的垂线，垂足为K，

         ∵BB₁与两底面ABCD，A₁B₁C₁D₁都垂直，

         ∴

          又

因此  FK∥AE.

∴∠BFK 为异面直线BF与AE所成的角。

连结BK，由FK⊥面BDD₁B₁得FK⊥BK。

从而   △BKF为Rt△

在Rt △BKF₁和Rt△B₁D₁A1

由得

FK===

又  BF=

∴cos∠BFK=。

∴异面直线BF与AE所成的角为arcos。

（Ⅱ）由于DA⊥面AA₁B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG。

 ∴∠AGD即为平面BDF与平面AA₁B所成二面角的平面角

   且∠DAG=90°，在平面AA₁B中，延长BF与AA₁交于点S。

∵F为A₁B₁的中点，A₁F∥AB。

∴A₁、F分别为SA、SB的中点。

即SA=2A₁A=2=AB。

∴Rt△BAS为等腰直角三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即F、G重合，

易得AG=AF=SB=，在Rt△BAS中，AD=，

∴tan∠AGD=

∴∠AGD=arctan

即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小为arctan

（Ⅲ）由(Ⅱ)知平面AFD是平面BDF与平面AA₁B所成二面角的平面角所在的平面，

∴面AFD⊥面BDF。

在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离，

由  AH?DF=AD?AF，得

所以点A到平面BDF的距离为 。