Question

已知函数f(t)=

1-t 1+t

，g(x)=cosx•f(sinx)+sinx•f(cosx)，x∈(π，

17π

12

).
（Ⅰ）将函数g（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（Ⅱ）求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）将f（sinx），f（cosx）代入g（x），分子分母分别乘以（1-sinx），（1-cosx）去掉根号，再由x的范围去绝对值可得答案．
（2）先由x的范围求出x+

π

4

的范围，再由三角函数的单调性可得答案．

解答：解：（Ⅰ）g(x)=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

=cosx•

(1-sinx)2 cos2x

+sinx•

(1-cosx)2 sin2x

∵x∈(π，

17π

12

]，∴|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx，
∴g(x)=cosx•

1-sinx

-cosx

+sinx•

1-cosx

-sinx

=sinx+cosx-2
=

2

sin(x+

π

4

)-2.
（Ⅱ）由π＜x≤

17π

12

，得

5π

4

＜x+

π

4

≤

5π

3

.
∵sint在(

5π

4

，

3π

2

]上为减函数，在(

3π

2

，

5π

3

]上为增函数，
又sin

5π

3

＜sin

5π

4

，∴sin

3π

2

≤sin(x+

π

4

)＜sin

5π

4

（当x∈(π，

17π

2

]），
即-1≤sin(x+

π

4

)＜-

2

2

，∴-

2

-2≤

2

sin(x+

π

4

)-2＜-3，
故g（x）的值域为[-

2

-2，-3).

点评：本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力．