Question

下列命题：
①终边在坐标轴上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}；
②若2sinx=1+cosx，则tan

x

2

必为

1

2

；
③ab=0，asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），（|φ|＜π）中，若a＞0，则φ=arctan

b

a

；
④函数y=sin（

1

2

x-

π

6

）在区间[-

π

3

，

11π

6

]上的值域为[-

3

2

，

2

2

]；
⑤方程sin（2x+

π

3

）-a=0在区间[0，

π

2

]上有两个不同的实数解x₁，x₂，则x₁+x₂=

π

6

．
其中正确命题的序号为

①③⑤

．

Answer 1

分析：①根据终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ=

2kπ

2

，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+

π

2

=

(2k+1)π

2

，k∈Z}即可判断出①正确．
②可取x=π符合条件但结论不成立．
③此结论是常用的辅助角公式故正确．
④令t=

1

2

x-

π

6

则由x的范围求出t的范围再结合y=sint的图象以及t的范围即可判断出此命题的正误．
⑤利用换元法再结合数形结合的思想可作出判断．

解答：解：①由于终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ=

2kπ

2

，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+

π

2

=

(2k+1)π

2

，k∈Z}所以终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=kπ=

2kπ

2

，k∈Z}∪{α|α=kπ+

π

2

=

(2k+1)π

2

，k∈Z}={α|α=

kπ

2

，k∈Z}故①对
②由于当x=π时2sinx=1+cosx仍成立但tan

x

2

=tan

π

2

没意义故②错
③当ab≠0时asinx+bcosx=

a2+b2

（

a

a2+  b2

sinx+

b

a2+b2

cosx）由于(

a

a2+b2

)2+(

b

a2+b2

)2=1故可令cos∅=

a

a2+  b2

则sin∅=

b

a2+b2

所以asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ）（|φ|＜π）中，若a＞0，则φ=arctan

b

a

故③对
④令t=

1

2

x-

π

6

则由于x∈[-

π

3

，

11π

6

]故t∈[-

π

3

，

3π

4

]结合函数y=sint在t∈[-

π

3

，

3π

4

]上的图象可知其值域为[-

3

2

，1]故④错
⑤令y=sin（2x+

π

3

）=sint则t∈[

π

3

，

4π

3

]在同一直角坐标系中作出y=sint，t∈[

π

3

，

4π

3

]的图象和y=a使得两图象有两个交点则可得t₁+t₂=π即2x1+

π

3

+2x2+ 

π

3

=π所以x₁+x₂=

π

6

故⑤对
故答案为 ①③⑤

点评：本题主要考查了命题真假的判断．解题的关键是把握住此类问题的判断准则“正确的给出证明，错误的举出反例”！