Question

1．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinφ+cosφ}\\{y=sin2φ}\end{array}\right.$（φ 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t为常数）．
（1）若曲线C₁与C₂只有一个公共点，求t的取值范围．
（2）当t=-2时，求曲线C₁的点与曲线C₂上任取一点的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程，由曲线C₁与C₂只有一个公共点，可得方程组有唯一解，判别式等于零，从而求得t的值．
（2）在曲线C₁上任意取一点A（m，m²-1），则A到C₂ ：x+y=t的距离为d=$\frac{|m{+m}^{2}-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{|（m+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}|}{\sqrt{2}}$，再利用二次函数的性质求得A到C₂ 的距离d取得最小值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinφ+cosφ}\\{y=sin2φ}\end{array}\right.$ （φ 为参数），即x²=1+y，即 y=x²-1．
由曲线C₂的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t为常数），可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
即 x+y=t．
根据曲线C₁与C₂只有一个公共点，可得 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=t}\\{y{=x}^{2}-1}\end{array}\right.$ 有唯一解，即x²+x-t-1=0有唯一解，
∴△=1+4（t+1）=0，求得t=-$\frac{5}{4}$．
（2）当t=-2时，曲线C₂ 即：x+y=-2，在曲线C₁：y=x²-1 上任意取一点A（m，m²-1），
则A到C₂ ：x+y=t的距离为d=$\frac{|m{+m}^{2}-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{|（m+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}|}{\sqrt{2}}$，故当m=-$\frac{1}{2}$时，A到C₂ ：x+y=t的距离d取得最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，二次函数的性质应用，属于基础题．