Question

17．已知数列{a_n}，{b_n}分别满足a₁=1，|a_n+1-a_n|=2，且${b_1}=-1，|{\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}}$|=2，其中n∈N^*，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若数列{a_n}，{b_n}都是递增数列，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c_k＜c_k-1，则称数列{c_n}为“k坠点数列”．
①若数列{a_n}为“5坠点数列”，求S_n；
②若数列{a_n}为“p坠点数列”，数列{b_n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m使得S_m+1=T_m？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由两数列为递增数列，结合递推式可得a_n+1-a_n=2，b₂=-2b₁，b_n+2=2b_n+1，n∈N^*，由此可得数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}从第二项起构成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的通项公式求得答案；
（2）①根据题目条件判断：数列{a_n}必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，求解S_n即可．
②运用数列{b_n}为“坠点数列”且b₁=-1，综合判断数列{b_n}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得S_m+1=T_m，显然m≠1，且T_m为奇数，而{a_n}中各项均为奇数，可得m必为偶数．再讨论q＞m，q=m，q＜m，证明m≤6，求出数列即可．

解答 解：（1）∵数列{a_n}，{b_n}都为递增数列，
∴由递推式可得a_n+1-a_n=2，b₂=-2b₁=2，b_n+2=2b_n+1，n∈N^*，
则数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}从第二项起构成等比数列．
∴a_n=2n-1，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；                            
（2）①∵数列{a_n}满足：存在唯一的正整数k=5，使得a_k＜a_k-1，且|a_n+1-a_n|=2，
∴数列{a_n}必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，
即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，
故S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，n≤4}\\{{n}^{2}-4n+16，n≥5}\end{array}\right.$；                                   
②∵|$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$|=2，即b_n+1=±2b_n，
∴|b_n|=2^n-1，
而数列{b_n}为“q坠点数列”且b₁=-1，
∴数列{b_n}中有且只有两个负项．
假设存在正整数m，使得S_m+1=T_m，显然m≠1，且T_m为奇数，
而{a_n}中各项均为奇数，
∴m必为偶数．   
由S_m+1≤1+3+…+（2m+1）=（m+1）²，
当q＞m时，T_m=-1+2+4+…+2^m-2+2^m-1=2^m-3，
当m≥6时，2^m-3＞（m+1）²，故不存在正整数m使得S_m+1=T_m；
当q=m时，T_m=-1+2¹+…+2^m-2+（-2^m-1）=-3＜0，
显然不存在正整数m使得S_m+1=T_m；
当q＜m时，∴（T_m）_min=-1+2¹+…+2^m-3+（-2^m-2）+2^m-1=2^m-1-3．
当2^m-1-3＜（m+1）²，才存在正整数m使得S_m+1=T_m；
即m≤6．                                                     
当m=6时，q＜6，
构造：{a_n}为1，3，1，3，5，7，9，…，{b_n}为-1，2，4，8，-16，32，64，…
此时p=3，q=5．
∴m_max=6，对应的p=3，q=5．

点评 本题是新定义题，考查了数列递推式，综合考查学生运用新定义求解数列的问题，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．