Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}-3，-1＜x≤0}\\{x，0＜x≤1}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-mx-m在（-1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（$-\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-mx-m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：由g（x）=f（x）-mx-m=0，即f（x）=m（x+1），
分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：
由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（-1，0）的直线，
当h（x）过（1，1）时，m=$\frac{1}{2}$，此时两个函数有两个交点，
此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤$\frac{1}{2}$，
当h（x）过（0，-2）时，h（0）=-2，解得m=-2，此时两个函数有两个交点，
当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时 $\frac{1}{x+3}$x-3=m（x+1）即m（x+1）²+3（x+1）-1=0，
当m=0时，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=-$\frac{9}{4}$，此时直线和f（x）相切，
∴要使函数有两个零点，则-$\frac{9}{4}$＜m≤-2或0＜m≤$\frac{1}{2}$．
故答案为：（$-\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，属于中档题．