Question

16．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=3，M是侧棱CC₁上一点．
（1）若BM⊥A₁C，求$\frac{{{C_1}M}}{MC}$的值；
（2）若MC=2，求直线BA₁与平面ABM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，$\overrightarrow{BM}=（{-2，2，h}）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（{0，2，-3}）$，由BM⊥A₁C得$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{{A_1}C}=0$，求出h，然后推出$\frac{{{C_1}M}}{MC}$的值．
（2）求出平面ABM的一个法向量，利用空间向量数量积求解直线BA₁与平面ABM所成的角为θ的余弦函数值，即可求解直线BA₁与平面ABM所成的角正弦值．

解答 解：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁
分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，…（1分）
如图所示，则B（2，0，0），A₁（0，0，3），C（0，2，0），
设MC=h，则 M（0，2，h）$\overrightarrow{BM}=（{-2，2，h}）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（{0，2，-3}）$…（2分）
由BM⊥A₁C得$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{{A_1}C}=0$，即2×2-3h=0
解得$h=\frac{4}{3}$，…（5分）
故$\frac{{{C_1}M}}{MC}=\frac{5}{4}$； …（7分）
（2）因为MC=2，所以M（0，2，2），$\overrightarrow{AB}=（{2，0，0}），\overrightarrow{AM}=（{0，2，2}），\overrightarrow{B{A_1}}=（{-2，0，3}）$
设平面ABM的一个法向量为$\vec n=（{x，y，z}）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\vec n•\overrightarrow{AB}=0}\\{\vec n•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y+z=0}\end{array}$，
所以$\vec n=（{0，1，-1}）$，…（10分）
则cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{A}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{B{A}_{1}}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{2}•\sqrt{13}}$=-$\frac{3\sqrt{26}}{26}$，…（14分）
设直线BA₁与平面ABM所成的角为θ，所以sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{A}_{1}}＞$|=$\frac{3\sqrt{26}}{26}$，
所以直线BA₁与平面ABM所成的角正弦值为$\frac{{3\sqrt{26}}}{26}$．…（16分）．

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，空间向量的垂直，以及线面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．